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前置知识

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基本的代数结构

吴爷爷在每节课末尾都会飙车,第一节课起飞的是群环域

代数系统是什么

代数系统

一般地,我们把一个非空集合 \(X\) 和在 \(X\) 上定义的若干代数运算 \(f_1,...,f_k\) 组成的系统称为代数系统（简称代数系）,记作 \(<X:f_1,...,f_k>\)

说白了,代数系统就是把一个集合,以及你能对这个集合中的元素进行什么操作告诉你。

举个例子,我们小学(或者是幼儿园？)学过的整数(\(\mathbf{Z}\))的加法(+)就是一种代数系（\(<\mathbf{Z},+>\)）

要注意的是,代数系统上定义的运算必须保证封闭性,也就是运算后的结果必须仍然在集合 \(X\) 中

在整数的加法中,我们有以下运算性质

  • 结合律 \((a+b)+c=a+(b+c)\)
  • 单位元：存在一个元素 0,使得 \(a+0=0+a=a\)；
  • 逆元：对于任意\(a\),存在一个元素\(−a\),使得 \(a+(−a)=(−a)+a = 0\) 。\(0\) 为单位元；
  • 交换律：\(a+b=b+a\)

平平无奇,对吧,那么我们现在来抽象一下

在集合\(G\)上的运算\(◦\),我们有以下性质

  • 结合律 \((a ◦ b) ◦ c=a ◦ (b ◦ c)\)
  • 单位元：存在一个元素 \(e\),使得 \(a ◦ e=e ◦ a=a\)；
  • 逆元：对于任意\(a\),存在一个元素\(\overline{a}\),使得 \(a ◦ \overline{a} = \overline{a} ◦ a = e\) \(e\) 为单位元；
  • 交换律：\(a ◦ b=b ◦ a\)

注意上面的定义是抽象的,忽略集合中元素的意义差异（元素可以表示实数,也可以在表示平面向量等几何对象）,同时也可以忽略运算定义的差异,只关心运算作用于集合元素的性质.

接下来,我们就可以介绍群,环,域三个代数系统了

群

若运算 ◦ 满足结合律,则称代数系统 \(〈G : ◦〉\) 为半群；若在半群基础上存在单位元, 则称之为含幺半群；若在含幺半群基础上每个元素存在逆元,则称之为群；若在群的 基础上运算还满足交换律,则称之为 Abel 群,也称交换群.

  • 群的单位元唯一：若存在两个单位元\(e_1,e_2\),则\(e_1=e_1◦ e_2=e_2\)
  • 群中每一个元素逆元唯一:设 \(b\) 和 \(c\) 都是 \(a\) 的逆元,则 \(b = b ◦ e = b ◦ (a ◦ c) = (b ◦ a) ◦ c = e ◦ c = c.\)

环

我们称代数系统 \(〈R : +, ◦〉\) 为一个环,如果

  1. \(〈R : +〉\) 是交换群,其单位元记作 0；
  2. \(〈R : ◦〉\) 是幺半群；
  3. 运算 \(◦\) 对 \(+\) 满足左、右分配律,即

\(a ◦ (b + c) = a ◦ b + a ◦ c\)

\((b + c) ◦ a = b ◦ a + c ◦ a\)

若进一步每个非 0（+ 运算单位元）元素关于 ◦ 都有逆元,则称之为除环. 另外,若 上述定义中 ◦ 运算满足交换律,则称为交换环.

域

我们称代数系统 \(〈F : +, ◦〉\) 为一个域,如果

  1. \(〈F : +〉\) 是交换群,其单位元记作 0；
  2. \(〈F^* : ◦〉\) 是交换群；其中\(F^*\)指\(F\)去掉\(+\)的单位元
  3. 运算 \(◦\) 对 \(+\) 满足左、右分配律,即

\(a ◦ (b + c) = a ◦ b + a ◦ c\)

\((b + c) ◦ a = b ◦ a + c ◦ a\)

我们可以结合一下交换环和除环,在环中定义的\(〈R : ◦〉\) 是幺半群就变成了群,此时,这个交换除环满足所有域的要求,也就是说,交换除环即为域。

关于数域,我们有如下两个结论：

  1. 数集 \(F\) 对数的加法和乘法构成数域的充要条件为：\(F\) 包含 0,1 且对数的加、减、 乘、除（除数不为 0）运算封闭；
  2. 任何数域都包含有理数域 \(\mathbf{Q}\),即 \(\mathbf{Q}\) 是最小的数域.

引入了代数结构之后,我们可以把它们暂且理解为一种模型,就像我们高中练了千百道题目之后,提炼出来了一种普遍的做法,在发现许多具体的代数系统的共性之后,我们也可以把它们模型化,而不必重复研究同样的东西了。

等价关系

我们时常需要讨论集合中元素之间的关系. 例如直线间的平行、垂直、相交,或是数之间的大于、等于、小于关系.“关系” 将会多次出现在线性代数的学习过程中,因此我们很有必要在此形式化定义这一概念,并强调其中一类特定的关系——等价关系.

从最简单的二元关系开始,在此之前,有必要引入集合的笛卡尔积

Info

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个非空集合,我们把集合 \(A × B = \{(a, b) | a ∈ A, b ∈ B\}\) 称为集合 \(A\) 和 \(B\) 的 笛卡尔积.

我们熟悉的平面点集就是一种\(\mathbf{R} \times \mathbf{R}\)的具体表示,空间点集就是一种\(\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}\)的具体表示

回到我们的二元关系中,在人类\(\times\)人类这个笛卡尔积上,(老师a,学生b)这一有序对定义了一种师生关系,更规范一点,我们可以这样写

\[\{(a,b)|a,b\in Humans ,\text{a is the teacher of b}\}\]

那么将人类\(\times\)人类这一集合中所有的师生放在一起,就构成了人类中的师生关系

我们把人类\(\times\)人类抽象为集合\(G \times G\),将师生关系抽象为\(R\)这一种关系。就可以研究更多其它的东西了。

接下来,我们先引出关系中不得不讨论的以下几个性质

自反性: \(\forall a \in G,aRa\),也就是集合中的元素自己和自己满足这种关系,显然师生关系没有这个性质,但是实数上的\(\leqslant\)满足这个性质

对称性 \(a R b \Rightarrow b R a\),例如平行关系

传递性 \(a R b,b R c \Rightarrow a R c\),例如\(\leqslant\)关系

定义

偏序关系:仅不满足对称性的关系叫偏序关系,例如整除关系

等价关系:以上性质全部都满足的关系叫做等价关系

有了等价关系\(R\),我们可以由这个关系对集合进行一些划分

Example

整数域\(Z\)上,模2同余是一种等价关系,在这种关系下,我们可以不用考虑这么多无穷无尽的数字,只需要考虑两种元素,模2余1的元素和模2余0的元素,也就是我们早已熟知的:奇数和偶数

这种划分实在是有效,我们可以把等价的元素装在一起,起名为等价类

等价类

若\(R\)是集合\(G\)上的一个等价关系,若\(a,b \in G,a R b\),则称\(a,b\)等价,所有\(G\)中与\(a\)等价的元素构成的集合可以称为\(a\)所在的等价类 {\(b \in A | bRa\)},可以表示为 \(\overline{a}\)

那么自然想到整数可以划分为{\(\overline{0},\overline{1}\)},其实不取0和1,取2和3也是一样的,只需要取出这个等价类里面的一个代表元就可以了.

最后,我们来一点正式的定义

分划

设 \(R\) 是集合 \(A\) 的等价关系,则由所有不同的等价类构成的子集族 {\(\overline{a}\)} 是 \(A\) 的分划. 反之,我们也可以基于分划在 \(A\) 中定义等价关系.

商集

设 \(R\) 是集合 \(A\) 的等价关系,以关于 \(R\) 的等价类为元素的集合（实际上是集合构成 的集合,又称集族）{\(\overline{a}\)} 称为 \(A\) 对 \(R\) 的商集,记为 \(A/R\). 由 \(\pi(a) = a, \forall a ∈ A\) 定义的 \(A\) 到 \(A/R\) 上的映射 \(\pi\) 称为 \(A\) 到 \(A/R\) 上的自然映射.

高斯消元法

不就是加加减减,有什么好单独拿出来说的呢(等你考试解错这个送分题就老实了)

一般的,对于一个由 \(m\) 个方程组成的 \(n\) 元（即变量数为 \(n\)）线性方程组

\[\begin{cases} \begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n & = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2\\ &\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n & = b_m\end{aligned}\end{cases}\]

将其系数排列成矩阵

\[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} \cdots &a_{mn}\end{pmatrix}\]

且记\(\vec{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_m)^\mathrm{T}\),若 \(\vec{b}=\vec{0}\) 则称此方程为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组. 再将\(n\)个未知量记为\(n\)元列向量\(X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}\),我们便可以把方程组简记为\(AX=\vec{b}\).

Info

T代表转置,也就是要竖着写

令\(\vec{\beta}_i=(a_{1i},a_{2i},\ldots,a_{mi})^\mathrm{T}\),即方程组系数矩阵的某一列,则方程组还可以记为\(x_1\vec{\beta}_1+x_2\vec{\beta}_2+\cdots+x_n\vec{\beta}_n=\vec{b}\),这一形式将在之后多次见到.

在以上的记号下,我们可以将解线性方程组的过程转化为矩阵的初等行变换. 高斯消元法的一般步骤如下：

线性方程组\(\overset{1}{\longrightarrow}\)增广矩阵\(\overset{2}{\longrightarrow}\)阶梯矩阵\(\overset{3}{\longrightarrow}\)（行）简化阶梯矩阵\(\overset{4}{\longrightarrow}\)解

  • 步骤一:把矩阵写为\((A,b)\)的形式即可。
  • 步骤二:从第一行开始,第一次用第一行消去下面几行的第一个元素,第二次用第二行消去下面几行的第二个,以此类推,做到最后一行只剩一个。
  • 步骤三:从最后一行开始,此时最后一行只剩最后一个,用最后一行消去上面所有行的最后一个(如果可能的话),这样倒数第二行只剩一个,继续做下去直到消去不了。
  • 步骤四:这里有三种情况
    • 无解:如果出现0=常数的情况,那就是无解(不是常数=0)
    • 唯一解:简化阶梯矩阵(系数矩阵)是\(n\times n\)的,且没有全0行。后面我们直接可以用系数矩阵可逆(行列式不为0)来直接判断
    • 有无用的矩阵,体现为简化阶梯矩阵有全0行,更一般地说,有效方程个数少于未知数的个数,设出自由未知量将其令为\(k_1,k_2,\ldots\),然后代入增广矩阵对应的方程组即可

累了,这一部分就写这么多吧