数学分析一，二的个人手写笔记¶
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各类积分的总结
- 定义在整个空间上的积分
- 定积分
- 双重积分
- 三重积分
- 定义在曲线上的积分
- 曲线积分
- 第一类曲线积分，计算可以使用参数方程，将曲线微分表示出来即可
- 第二类曲线积分，计算可以使用参数方程，将曲线微分表示出来，但是要根据方向来确定积分上下限；也可以使用Green公式和Stokes公式，将边界曲线积分转化为所围成曲面上的第一类面积分
- 曲面积分
- 第一类曲面积分，计算可以通过投影,通过计算法向量来计算投影角；从而将曲面积分转化为二重积分
- 第二类曲面积分，计算可以通过投影,通过计算法向量来计算投影角；从而将曲面积分转化为二重积分，在这个基础之上多了一步定向即 一投，二代，三定向 ；也可以使用Gauss公式，将曲面积分转化为所围成体积上的体积分
Gauss,Green,Stokes公式
- Gauss公式：\(\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F}dV\)
- Green公式：\(\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy\)
- Stokes公式：\(\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S \nabla \times \vec{F}\cdot d\vec{S}\) 实际上Green公式是Stokes公式在二维平面上的一个特例