Maxwell Equation¶
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改变人类文明进程的伟大方程
对称性原则¶
我们首先回忆学过的方程
在真空中，我们有
- 电场高斯定理
\[
\oiint \vec{E} \cdot \vec{dS} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
\]
- 磁场高斯定理
\[
\oiint \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0
\]
- 法拉第电磁感应定律
\[
\oint \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\oiint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{dS}
\]
- 安培环路定理
\[
\oint \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I_{enc}
\]
在电介质或者磁芯材料中，我们有
- 电场高斯定理推广
\[
\oiint \vec{D} \cdot \vec{dS} = Q_{free}
\]
- 磁场环路定理推广
\[
\oint \vec{H} \cdot \vec{dl} = I_{free} = \oiint \vec{J} \cdot \vec{dS}
\]
我们还有欧姆定律微分形式
\[
\vec{J} = \sigma \vec{E}
\]
对称性原则：物理学家们希望方程是对称美观的，观察电场和磁场的高斯定律，于是自然不想看到磁场高斯定律的等号右边空空如也，也希望电场环路定律出现电流的形式，所以引入了磁荷\(q_m\)对方程进行修正
\[
\begin{cases}
\oiint \vec{B} \cdot \vec{dS} = q_m \\
\oint \vec{E} \cdot \vec{dl} = \dfrac{dq_m}{dt}= -\oiint \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{dS}
\end{cases}
\]
Stokez公式与麦克斯韦方程¶
我宣佈現在我也是麥克斯韋了
使用电场的环路定理，再用斯托克斯公式变成面积分
\[
\oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = i_0 = \iint_{S_2} \mathbf{J}_0 \cdot d\mathbf{A}
\]
\[
-\iint_{S_1} \mathbf{J}_0 \cdot d\mathbf{A} = \iint_{S_2} \mathbf{J}_0 \cdot d\mathbf{A} = i_0
\]
\[
\iint_{S} \mathbf{J}_0 \cdot d\mathbf{A} = \iint_{S_1} \mathbf{J}_0 \cdot d\mathbf{A} + \iint_{S_2} \mathbf{J}_0 \cdot d\mathbf{A} = 0
\]
这启发我们，以一个封闭的曲面包裹着电流，其面积分为0；
但是这样的结论在给电容器充电时出现了诡异的情况
对于(1,2)曲面，面积分为0，(1,4)曲面，面积分为0，但是(1,3)曲面，面积分不为0，此时电流从1面进入，但是没有从3面出去；这太不自然了
所以我们自然引入位移电流\(I_D\)
\[
\oint \vec{H} \cdot \vec{dl} = I_{free} + I_D
\]
但是\(I_D\)是什么呢？我们可以从面积分的形式出发
考虑(1,3)曲面\(S\)，只进不出
\[
\oiint_S \vec{J} \cdot \vec{dS} = -\dfrac{dq}{dt}
\]
\[
\oiint_S \vec{D} \cdot \vec{dS} = q
\]
\[
\oiint_s \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \vec{dS} = \dfrac{dq}{dt}
\]
所以在(1,3)曲面上，我们有
\[
\oiint_S \left( \vec{J} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \right) \cdot \vec{dS} = 0
\]
此时在1曲面进的等于3曲面出的
\[
- \oiint_{S_1} \vec{J} \cdot \vec{dS} = \oiint_{S_3} \vec{J} \cdot \vec{dS}
\]
位移电流
1曲面没有位移电流，3曲面没有自由电流，位移电流\(I_D=I_0\)
最后，更加完整的定义为
\[
\Phi_D = \iint \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} \quad \text{electric displacement flux}
\]
\[
i_D = \frac{d\Phi_D}{dt} = \iint \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A} \quad \text{displacement current}
\]
\[
\mathbf{j}_D = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \quad \text{displacement current density}
\]
分别是电位移通量，位移电流，位移电流密度
i_D=i_0
\[
E = \frac{\sigma_e}{\epsilon_0} = \frac{q}{\epsilon_0 A} \quad \therefore \quad q = \epsilon_0 A E = \epsilon_0 \Phi_E = AD
\]
\[
\therefore \quad i_0 = \frac{dq}{dt} = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{d\Phi_D}{dt} = i_D, \quad \mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}
\]
电容充满电之后\(i_D=i_0=0\);
这个电流也会产生磁场
\[
\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \int \int \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d\vec{A} \enspace (I_D)
\]
\[
\oint \frac{\vec{B}}{\mu_0} \cdot d\vec{l} = \epsilon_0 \int \int \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot dA
\]
\[
\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \int \int \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot dA
\]
变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，这就是麦克斯韦方程
最后，我们得到
\[
\oint \vec{H} \cdot \vec{dl} = \iint \vec{J} \cdot \vec{dS} + \iint \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \vec{dS}
\]
以及
\[
\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}
\]